تحلیل فیزیکی نیروی کوریولیس در معادلات فلومتر کوریولیس

برای درک دقیق‌تری از شتاب کوریولیس و نحوه شکل‌گیری آن در ساختار فلومتر، بهتر است رفتار یک المان کوچک از جرم سیال را در دو لحظه متوالی بررسی کنیم. مطابق با شکل 1-b، فرض کنید در زمان \( t \)، سرعت سیال دارای دو مؤلفه \( u \) و \( v \) است. پس از گذشت بازه‌ی زمانی \( \Delta t \)، این مؤلفه‌ها به ترتیب به \( u’ \) و \( v’ \) تغییر می‌یابند.

برای تجسم تغییرات رخ‌داده در این بازه زمانی، بردارهای سرعت در زمان‌های مختلف را از یک مبدأ مشترک ترسیم می‌کنیم (مطابق با شکل 1-c). در این نمودار برداری، تغییر بردار سرعت کل را می‌توان به‌صورت مجموع سه بردار تحلیل کرد:

• بردار \( \overrightarrow{TT”} \): بیانگر تغییر سرعت در جهت انتقال خطی
• بردار \( \overrightarrow{RR’} \): نماینده تغییر ناشی از چرخش مرجع
• بردار \( \overrightarrow{T”T’} \): ناشی از شتاب جانبی یا کوریولیس

این سه مؤلفه برداری در کنار یکدیگر توصیف کاملی از نیروهای اینرسی مؤثر در سیستم را ارائه می‌دهند و نقش کلیدی در شکل‌گیری معادلات فلومتر کوریولیس دارند. چنین تحلیلی پایه‌گذار مدل‌سازی دینامیکی لوله‌های ارتعاشی در حضور جریان سیال است و به‌ویژه در طراحی و کالیبراسیون فلومترهای صنعتی کاربرد دارد.

بیان تحلیلی بردارهای شتاب و شکل‌گیری شتاب کوریولیس

بردار \( \overrightarrow{TT”} \) نشان‌دهنده‌ی تغییر جهت مؤلفه‌ی سرعت \( v \) است که منجر به ایجاد شتاب مرکزگرا می‌شود. این شتاب در حد زمانی \( \Delta t \to 0 \) به صورت زیر قابل محاسبه است:

\[ \lim_{\Delta t \to 0} \frac{TT”}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \left( v \cdot \frac{\Delta \theta}{\Delta t} \right) = r\Omega^2 \tag{1.1} \]

در این معادله، \( \Omega \) سرعت زاویه‌ای سیستم، و \( r \) شعاع چرخش است.

بردار \( \overrightarrow{RR’} \) بیانگر تغییر جهت مؤلفه‌ی سرعت بر اثر دوران است، و بردار \( \overrightarrow{T”T’} \) نشان‌دهنده‌ی تغییر در اندازه‌ی مؤلفه‌ی \( v \) سرعت به دلیل وجود سرعت \( u \) در راستای محوری لوله می‌باشد.

شتاب کوریولیس حاصل اثر ترکیبی سرعت نسبی \( u \) و سرعت زاویه‌ای سیستم \( \Omega \) است و در دستگاه مرجع چرخان به شکل زیر بیان می‌شود:

\[ \lim_{\Delta t \to 0} \frac{RR’ + T”T’}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \left( u \cdot \frac{\Delta \theta}{\Delta t} + \Omega \cdot \frac{\Delta r}{\Delta t} \right) = 2\Omega u \tag{1.2} \]

این شتاب همواره عمود بر هر دو بردار \( \Omega \) و \( u \) قرار می‌گیرد و باعث انحراف مسیر جریان سیال درون لوله می‌شود؛ انحرافی که مبنای عملکرد فلومتر کوریولیس را تشکیل می‌دهد.

همچنین باید توجه داشت که این شتاب می‌تواند از طریق نوسان کنترل‌شده لوله نیز ایجاد شود. در چنین حالتی، نیروی کوریولیس منجر به تولید شتابی نوسانی با همان فرکانس نوسان اصلی می‌شود و سیگنال‌های اندازه‌گیری‌شده توسط سنسورها بر این اساس تحلیل می‌شوند.

بیان تحلیلی بردارهای شتاب و شکل‌گیری شتاب کوریولیس

بردار \( \overrightarrow{TT”} \) نشان‌دهنده‌ی تغییر جهت مؤلفه‌ی سرعت \( v \) است که منجر به ایجاد شتاب مرکزگرا می‌شود. این شتاب در حد زمانی \( \Delta t \to 0 \) به صورت زیر قابل محاسبه است:

\[ \lim_{\Delta t \to 0} \frac{TT”}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \left( v \cdot \frac{\Delta \theta}{\Delta t} \right) = r\Omega^2 \tag{1.1} \]

در این معادله، \( \Omega \) سرعت زاویه‌ای سیستم، و \( r \) شعاع چرخش است.

بردار \( \overrightarrow{RR’} \) بیانگر تغییر جهت مؤلفه‌ی سرعت بر اثر دوران است، و بردار \( \overrightarrow{T”T’} \) نشان‌دهنده‌ی تغییر در اندازه‌ی مؤلفه‌ی \( v \) سرعت به دلیل وجود سرعت \( u \) در راستای محوری لوله می‌باشد.

شتاب کوریولیس حاصل اثر ترکیبی سرعت نسبی \( u \) و سرعت زاویه‌ای سیستم \( \Omega \) است و در دستگاه مرجع چرخان به شکل زیر بیان می‌شود:

\[ \lim_{\Delta t \to 0} \frac{RR’ + T”T’}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \left( u \cdot \frac{\Delta \theta}{\Delta t} + \Omega \cdot \frac{\Delta r}{\Delta t} \right) = 2\Omega u \tag{1.2} \]

این شتاب همواره عمود بر هر دو بردار \( \Omega \) و \( u \) قرار می‌گیرد و باعث انحراف مسیر جریان سیال درون لوله می‌شود؛ انحرافی که مبنای عملکرد فلومتر کوریولیس را تشکیل می‌دهد.

همچنین باید توجه داشت که این شتاب می‌تواند از طریق نوسان کنترل‌شده لوله نیز ایجاد شود. در چنین حالتی، نیروی کوریولیس منجر به تولید شتابی نوسانی با همان فرکانس نوسان اصلی می‌شود و سیگنال‌های اندازه‌گیری‌شده توسط سنسورها بر این اساس تحلیل می‌شوند.

وابستگی پیچش به چگالی و فرکانس تحریک

توجه داشته باشید که ممان اینرسی \( I \) به جرم سیستم، و در نتیجه به چگالی سیال وابسته است. بر اساس رابطه‌ی (1.8)، فرکانس طبیعی پیچش \( \omega_{nt} \) نیز به‌صورت زیر به چگالی بستگی دارد:

\[ \omega_{nt} = \sqrt{\frac{K}{I}} \tag{1.8} \]

در نتیجه، در شرایطی که دستگاه با فرکانس تحریک ثابتی برابر با \( \omega \) (که به اندازه کافی از \( \omega_{nt} \) فاصله ندارد) و با دامنه‌ی ثابت ارتعاشی \( \Omega_0 \) کار می‌کند، حساسیت آن به چگالی سیال تغییر خواهد کرد. زیرا افزایش چگالی باعث افزایش \( I \) و کاهش \( \omega_{nt} \) می‌شود و این تغییر بر نسبت \( \omega / \omega_{nt} \) اثر می‌گذارد.

برای حل این مشکل در سیالاتی با چگالی متغیر، پیشنهاد می‌شود لوله‌ها در فرکانس طبیعی پایه‌ی خود، یعنی \( \omega_n \)، ارتعاش داده شوند. این کار با استفاده از مدار فیدبک امکان‌پذیر است (مطابق شکل 2-c).

از آنجا که فرکانس پایه \( \omega_n \) پایین‌تر از هارمونیک اول (یعنی \( \omega_{nt} \)) است، نسبت زیر برای طیف وسیعی از چگالی‌های سیال تقریباً ثابت باقی می‌ماند:

\[ \frac{\omega}{\omega_{nt}} = \text{constant} \]

بر اساس معادله (1.10)، رابطه‌ی اساسی بین دبی جرمی و پیچش لوله به صورت زیر تعریف می‌شود:

\[ \theta_0 = \frac{2 \Omega_0 l d}{K(1 – (\omega / \omega_{nt})^2)} \cdot \dot{m} \tag{1.10} \]

این معادله تنها زمانی به‌درستی عمل می‌کند که دامنه‌ی سرعت زاویه‌ای ارتعاش اصلی \( \Omega_0 \) ثابت باشد. در چنین شرایطی، زاویه‌ی پیچش \( \theta_0 \) مستقیماً با دبی جرمی \( \dot{m} \) متناسب خواهد بود.

اندازه‌گیری جریان با استفاده از اختلاف زمانی در فلومتر کوریولیس

روش کاربردی‌تر برای اندازه‌گیری جریان در فلومتر کوریولیس، استفاده از اختلاف زمانی \( \Delta t \) بین سیگنال‌های اندازه‌گیری‌شده توسط سنسورهای نوری یا الکترومغناطیسی در دو نقطه، مانند نقاط a و b در شکل 2-b، است.

مختصات \( y \) نقطه‌ی a یا b (در شرایط بدون جریان) به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

\[ y = y_0 \sin(\omega t) \]

و در زمان \( t = 0 \)، سرعت برابر است با:

\[ \dot{y}_0 = \omega y_0 \]

در حضور جریان، پیچشی به اندازه‌ی \( \theta_0 \) ایجاد می‌شود که منجر به اختلاف زمانی جزئی بین عبور نقاط a و b از صفحه‌ی xz می‌گردد (همان‌طور که در شکل 2-d نمایش داده شده است). این اختلاف زمان به‌صورت زیر بیان می‌شود:

\[ \Delta t = \frac{\theta_0}{\omega y_0} \tag{1.11} \]

با فرض اینکه \( \theta_0 \ll y_0 \) و با استفاده از معادلات (1.10)، (1.11) و رابطه‌ی زیر:

\[ \dot{y}_0 = \omega y_0 \approx -\Omega_0 c \tag{1.13} \]

رابطه بین دبی جرمی و اختلاف زمانی به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

\[ \dot{m} = cK \cdot \frac{1 – \left(\frac{\omega}{\omega_{nt}}\right)^2}{2 l d^2} \cdot \Delta t \tag{1.14} \]

بنابراین، دبی جرمی مستقل از دامنه‌ی ارتعاش اصلی بوده و تنها به هندسه‌ی سیستم، سختی پیچشی \( K \) و فرکانس‌های \( \omega \) و \( \omega_{nt} \) وابسته است.

نتیجه‌گیری

فلومترهای کوریولیس با بهره‌گیری از اصول شتاب کوریولیس، امکان اندازه‌گیری مستقیم و دقیق دبی جرمی را فراهم می‌کنند. در این مقاله نشان داده شد که روش مبتنی بر اندازه‌گیری اختلاف زمانی بین دو نقطه از لوله، وابستگی به دامنه‌ی ارتعاش اصلی را حذف می‌کند.

بنابراین، دبی جرمی مستقل از دامنه‌ی ارتعاش اصلی بوده و تنها به هندسه‌ی سیستم، سختی پیچشی \( K \) و فرکانس‌های \( \omega \) و \( \omega_{nt} \) وابسته است.

این ویژگی، عملکرد پایدار فلومتر را در برابر تغییرات محیطی تضمین کرده و آن را به گزینه‌ای ایده‌آل برای کاربردهای صنعتی حساس تبدیل می‌کند.